6. Frumtlur og samsettar tlur

 

Til baka Forsa fram

 

 

Meginatrii

Srhver nttrleg tala, nema 1, er anna hvort frumtala ea samsett tala.  Srhverja samsetta tlu er hgt a rita sem margfeldi tveggja ea fleiri frumtalna einhltan htt.  

Nemendur urfa a geta skori r um hvort nttrleg tala er frumtala ea samsett tala.  Nemendur urfa einnig a geta raki samsettar tlur frumtti og reikna fjlda deila samsettra talna.

Nnari umfjllun

Ltum a og b vera tvr heilar tlur.  Sagt er a talan a gangi upp b ef til er heil tala c annig a .  Ef a gengur upp b kallast a deilir tlunnar b.  Ef a gengur upp b og a er hvorki 1 n b er a eiginlegur deilir tlunnar b.

Einfalt er a skera r um hvort a er deilir b ea ekki.  Ef deilingin b deilt me a gengur upp er a deilir b, annars ekki.

a er deilir b m tkna me .

Frumtala er nttrleg tala, nnur en 1, sem sr engan eiginlegan deili.  a ir a tala er frumtala ef hn er nttrleg, ekki 1, og engin tala, nnur en 1 og talan sjlf, gengur upp henni.  Fyrstu frumtlurnar eru 2,3,5,7,11,13,17,19 og 23.

Tala er samsett ef hgt er a rita hana sem margfeldi tveggja minni talna.  a ir a srhver nttrleg tala sem ekki er frumtala og ekki 1 er samsett.  Fyrstu samsettu tlurnar eru 4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20 og 21.

Me essum skilgreiningum hefur nttrlegu tlunum veri skipt rj sundurlga flokka, frumtlur, samsettar tlur og tluna 1 sem er hvorki frumtala n samsett tala.

Einfalt er a athuga hvort tala er frumtala ea ekki.  Ef talan er 1 er hn ekki frumtala og ef einhver minni tala gengur upp henni er hn ekki heldur frumtala.  Me etta a leiarljsi vri hgt a lta tlvu athuga hvort tala er frumtala.  Forriti gti liti svona t:

Spyrja notandann um tlu a.

Athuga hvort talan a er 1.  Ef svo er, tilkynna a a s ekki frumtala og htta

Fyrir srhverja nttrlega tlu i sem er minni en a og strri en 1 skal:

Athuga hvort i gengur upp a.  Ef svo er, tilkynna a a s ekki frumtala og htta.

egar bi er a prfa srhvert i fr 2 til a -1 og ekkert eirra hefur gengi upp a skal tilkynna a a s frumtala og htta.

Hgt er a tba slkt forrit fyrir margar gerir reiknivla.  Ef a er gert kemur ljs a vlarnar eru lengi a athuga hvort strar tlur eru frumtlur vegna ess a skrefin sem arf a framkvma vera mjg mrg.  Hva arf t.d. mrg skref til a athuga hvort talan 3333333333331 er frumtala?

vaknar s spurning hvort ekki s hgt a fkka skrefunum til a fljtlegra s a athuga hvort tala er frumtala ea ekki (og a jafnt vi hvort sem tlva framkvmir verki ea a er leyst hndum).  Spurningin er essi:  arf a athuga hvort srhver tala fr 2 til a - 1 gengur upp a ea er hgt a fkka tlunum sem prfa arf?

Er ekki augljst a ef 2 gengur ekki upp a gengur engin nnur sltt tala upp a?  S teki mi af v m fkka skrefunum verulega.  Forriti gti liti svona t:

Spyrja notandann um tlu a.

Athuga hvort talan a er 1.  Ef svo er, tilkynna a a s ekki frumtala og htta.

Athuga hvort 2 gengur upp a.  Ef svo er, tilkynna a a s ekki frumtala og htta.

Fyrir srhverja oddatlu i sem er minni en a og strri en 2 skal:

Athuga hvort i gengur upp a.  Ef svo er, tilkynna a a s ekki frumtala og htta.

egar bi er a prfa srhvert i fr 3 til a -1 (einungis oddatlurnar) og ekkert eirra hefur gengi upp a skal tilkynna a a s frumtala og htta.

tt essi lagfring auki hraann nokku er vri etta forrit lengi a skera r um hvort strar tlur eru frumtlur.  a yrfti olinmi til a ba eftir svari ef slegin vri inn tala bor vi 1607673409.  Er hgt a fkka skrefunum enn meira?

arf e.t.v. ekki a prfa allar oddatlur sem eru minni en a?  Forriti httir um lei og a hefur fundi tlu sem gengur upp a og ef vita vri hversu str minnsti eiginlegi deilir a getur veri, s hann til, yrfti ekki a prfa tlur sem eru strri.

Hr er snt a minnsti eiginlegi deilir tlu er frumtala og ekki strri en ferningsrt tlunnar:

vri hgt a endurbta forriti:

Spyrja notandann um tlu a.

Athuga hvort talan a er 1.  Ef svo er, tilkynna a a s ekki frumtala og htta.

Athuga hvort 2 gengur upp a.  Ef svo er, tilkynna a a s ekki frumtala og htta.

Fyrir srhverja oddatlu i sem er minni ea jfn ferningsrtinni af a og strri en 2 skal:

Athuga hvort i gengur upp a.  Ef svo er, tilkynna a a s ekki frumtala og htta.

egar bi er a prfa srhvert i fr 3 til (einungis oddatlurnar) og ekkert eirra hefur gengi upp a skal tilkynna a a s frumtala og htta.

essi lagfring hefi mikla breytingu fr me sr.  Ef veri vri a athuga hvort 1607673409 er frumtala yrfti n einungis a prfa tlur sem eru minni en 40095 sta 1607673407 eins og hefi urft siustu tgfu forritsins.

essar vangaveltur koma auvita a notum egar veri er a athuga hndum hvort tala er frumtala ea ekki.  Ef kanna hvort talan 331 er frumtala er byrja v a taka eftir a talan er ekki sltt og er 2 ekki deilir hennar.  er ferningsrtin reiknu og er hn rmlega 18.  er arf bara a athuga hvort oddatlurnar fr og me 3 til og me 17 ganga upp 331.  Ef vita er hvaa oddatlur eru frumtlur ngir a athuga hvort r ganga upp 331, v eins og snt var hr a ofan er minnsti eiginlegi deilirinn frumtala.

Frumtlurnar eru endanlega margar.  Hgt er a sannfrast um etta me v a mynda sr a til s strsta frumtalan.  Kllum hana p.  Bum svo til tluna t me v a margfalda saman allar nttrlegar tlur til og me p og bta 1 vi, .e.

 

N er ljst a 2 gengur ekki upp t, afgangurinn r t deilt me 2 vri 1.  Hi sama m segja um allar hinar frumtlurnar a p metalinni, r ganga ekki upp t.  N er t strri en p og v getur t ekki veri frumtala skv. eirri forsendu a p s strsta frumtalan.  Engin frumtalnanna gengur upp t og vegna ess a minnsti eiginlegi deilir samsettrar tlu er frumtala ir a a t getur ekki veri samsett tala.  ar me er fengin s frleita niurstaa a t s hvorki frumtala n samsett tala (og t er ekki heldur 1).  Forsendan, a til s strsta frumtalan p, leiir til eirrar frleitu niurstu a til s tala t sem er hvorki frumtala, samsett tala n 1.  Eina leiin til a leysa mli er a lykta a forsendan s snn, .e. a strsta frumtalan s ekki til.  ar me hljta frumtlurnar a vera endanlega margar.  Hugmyndin a essari rksemdafrslu mun hafa fst 3. ld f.Kr. og er grski strfringurinn Evkl talinn vera hfundur hennar.

Srhverja samsetta tlu er hgt a rita sem margfeldi frumtalna nkvmlega einn veg (burts fr r ttanna).  A rita samsetta tlu sem margfeldi frumtalna er kalla a frumtta ea rekja frumtti.  

Snidmi:  

egar bi er a rekja tlu frumtti er einfalt a reikna hversu marga nttrlega deila talan sr.  Srhver deilir tlunnar er samsettur r frumttum tlunnar og m nta sr a til a telja deilana.  Ef sma deili tlunnar 420750 sem ttu var hr a ofan er hgt a nota 2 deilinn ea ekki (tveir mguleikar), hgt er a nota 3 tvisvar, einu sinni ea aldrei (rr mguleikar), hgt er a nota 5 risvar, tvisvar, einu sinni ea aldrei (fjrir mguleikar), hgt er a nota 11 ea ekki (tveir mguleikar) og hgt er a nota 17 ea ekki (tveir mguleikar).  Val tta deilinn fer v fram fimm skrefum og valkostirnir fyrsta skrefi eru 2, ru skrefi 3, rija skrefi 4, fjra skrefi 2 og fimmta skrefi 2.  Heildarfjldi valmguleika er margfeldi mguleika hverju skrefi, .e. 96.  Aferinni m lsa annig:  Talan er frumttu, veldisvsar frumttanna hkkair um einn og r tlur margfaldaar saman.  Kemur t fjldi nttrlega deila.

Nnari umfjllun er a finna lesefninu.

fingar

  1. Er 31 frumtala?  En 331?  Hva me 3331 , 33331 og 333331?  Eru allar tlur sem eru r af ristum me 1 sasta stinu frumtlur?

  2. Er kennitalan n frumtala?

  3. Er smanmeri itt frumtala?

  4. Er rtali 2001 frumtala?

  5. Fjrmlaruneyti er a huga a auka huga almennings strfri me v a leyfa skattgreiendum a velja hvort eir skila skattframtali ea snnun ess a rtali s frumtala.  Hvenr vri nst mgulegt a sleppa vi skattana?  Hvesu oft vri hgt a sleppa vi a greia skatta nstu 10 rum?

  6. Finndu hverju tilviki hva talan sr marga nttrulega deila.

    1331

    14641

     

  7. Ltum p,q og r vera rjr lkar frumtlur.  Hva talan pqr2 sr marga nttrulega deila?

  8. Hva ganga margar nttrulegar tlur upp tluna 102?

  9. Finndu nttrulega tlu sem hefur nkvmlega 24 nttrulega deila.

  10. Gerum r fyrir a  p,q og r su rjr lkar frumtlur og allar oddatlur.  Hver er minnsta sltta talan sem tlurnar p, q og r ganga allar upp ?  Hverjir eru nttrulegir deilar tlunnar pqr?

Nemendur urfa lka a leysa fingar lesefninu.

Til umhugsunar

  1. lsingunni forritinu er tala um a lta tlvuna athuga hvort oddatlur ganga upp tluna sem er til skounar egar bi er a ganga r skugga um a 2 s ekki deilir tlunnar.  N vri alveg ngjanlegt a lta tlvuna skoa hvort r oddatlur sem eru frumtlur su deilar tlunnar.  Hvers vegna heldur a a s ekki gert?

  2. 11 er frumtala og 101 er frumtala.  Hva me 1001 , 10001 , 100001 o.s.frv.?

  3. Hvaa nttrleg tala, minni en 100, sr flesta nttrlega deila?

Lesefni

Kaflinn um frumtlur og samsettar tlur Strfri. 1. misseri, lesefni - fyrsti hluti.

 

Gumundur Birgisson f jn 2001.
Allar bendingar um vefinn eru vel egnar.   Smelltu hr til a senda bendingu.
San hefur veri breytt fr  07 gst, 2003.